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在数学中，线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。
在 (a, f(a)) 处的切线
例如，有一个实数变量的可导函数 f，根据 n=1 的泰勒公式
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
R
2
{\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}}
其中
R
2
{\displaystyle R_{2}}
是余数。舍去余数就是线性近似：
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}
当 x 无限接近于 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线，因此这个过程也叫作切线近似。
我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似，这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如，一个有实数变量的可导函数
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
，可以用函数
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
在接近
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
的
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
点处的值来近似
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
∂
f
∂
x
(
a
,
b
)
(
x
−
a
)
+
∂
f
∂
y
(
a
,
b
)
(
y
−
b
)
.
{\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}
方程右侧是
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)}
在点
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle (a,b).}
处的平面切线。
在更具普遍意义的巴拿赫空间上，
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
D
f
(
a
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}
其中
D
f
(
a
)
{\displaystyle Df(a)}
是函数
f
{\displaystyle f}
在
a
{\displaystyle a}
处的 Fréchet 导数。